Der Fixpunktsatz von Banach besagt: In einem vollständigen metrischen Raum ((X, d)) hat eine Kontraktion (f: X \to X) (d.h. es gibt ein (q < 1) mit (d(f(x), f(y)) \leq q \cdot d(x, y))) genau einen Fixpunkt.

Beweis (kurz):

1. Wähle ein beliebiges (x_0 \in X). Definiere die Folge (x_{n+1} = f(x_n)).
2. Zeige, dass ((x_n)) eine Cauchy-Folge ist: Für (n > m), [ d(x_m, x_n) \leq d(x_m, x_{m+1}) + \cdots + d(x_{n-1}, x_n). ] Da (f) eine Kontraktion ist, gilt (d(x_k, x_{k+1}) = d(f(x_{k-1}), f(x_k)) \leq q \cdot d(x_{k-1}, x_k) \leq \cdots \leq q^k \cdot d(x_0, x_1)). Somit: [ d(x_m, x_n) \leq \sum_{k=m}^{n-1} q^k \cdot d(x_0, x_1) \leq \frac{q^m}{1-q} \cdot d(x_0, x_1). ] Für (m \to \infty) wird dies beliebig klein, da (q < 1).
3. Da (X) vollständig ist, konvergiert ((x_n)) gegen ein (x^* \in X).
4. Zeige, dass (x^) ein Fixpunkt ist: Da (f) stetig ist (als Kontraktion), gilt: [ f(x^) = f(\lim_{n \to \infty} x_n) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = x^*. ]
5. Eindeutigkeit: Angenommen, (y^* \neq x^) ist ein weiterer Fixpunkt. Dann: [ d(x^, y^) = d(f(x^), f(y^)) \leq q \cdot d(x^, y^). ] Da (q < 1), muss (d(x^, y^) = 0) sein, also (x^ = y^*).

Fazit: (f) hat genau einen Fixpunkt.